ANALISI MATEMATICA I

Docente

Chiara Giacomoni

Descrizione

Obiettivi

Il corso si propone di fornire gli strumenti per conseguire un'adeguata conoscenza dei concetti che stanno alla base dell'analisi matematica e consolidare le abilità di calcolo. La scelta di esempi significativi, tratti dalle scienze applicate o dalle applicazioni più comuni, consente di stimolare le attitudini logico-deduttive.

Programma

• Teoria degli insiemi.
• Insiemi numerici: numeri naturali, interi, razionali e reali e loro proprietà. Principio d'induzione. Insufficienza di Q. Teorema dell'esistenza dell'estremo superiore. Proprietà di Archimede. Non numerabilità di R.
• Logica proposizionale. Principio del terzo escluso e di non contraddizione. Logica dei predicati.
• Calcolo combinatorio. Disposizioni, permutazioni, combinazioni semplici. Triangolo di Tartaglia, il binomio di Newton.
• Numeri complessi. Operazioni algebriche. Teorema fondamentale dell'algebra.
• Introduzione alla topologia. Concetto di intorno. Punti interni, esterni, di frontiera e di accumulazione. Teorema di Bolzano-Weierstrass.
• Funzioni e loro grafici. Funzioni invettive, suriettive e biiettive. Funzioni razionali, periodiche. Le funzioni trigonometriche. Funzioni limitate, pari, dispari. Funzioni monotone. Funzioni composte. Funzione inversa.
• Successioni: definizioni e proprietà. Limiti e convergenza. Teorema dell'unicità del limite. Teorema della permanenza del segno. Successioni monotone e successioni limitate. Successioni estratte.
• Limiti: definizione intuitiva e definizione formale in tutti i casi (finiti ed infiniti); algebra dei limiti. Teorema del confronto. Limiti notevoli. Infiniti e infinitesimi.
• Funzioni continue: definizione, continuità destra e sinistra; continuità in un punto ed in un intervallo; Teorema di Weierstrass, Teorema dei valori intermedi, Teorema di compattezza, Teorema degli zeri.
• Derivata e significato geometrico, derivata destra e derivata sinistra. Teorema sulla relazione tra continuità e derivabilità; algebra delle derivate; derivata delle funzioni composte, derivata delle funzioni inverse. Derivate delle funzioni elementari. Derivate successive. Crescenza e decrescenza e legame con la derivata. Punti estremi, punti critici e Teorema di Fermat, Teorema di Rolle, Teorema del valor medio di Lagrange. Conseguenze del Teorema di Lagrange.
• Funzioni convesse e legame con la derivata seconda. Punti di flesso e asintoti. Studi qualitativo delle funzioni.
• Teorema di de l’Hopital.
• Formula di Taylor; formula di Mc Laurin, resto in forma di Peano e in forma di Lagrange. 
• Nozione di primitiva. Integrale di Riemann: definizione e proprietà e significato geometrico. Integrale definito e indefinito. Teorema della media integrale, Teorema fondamentale del calcolo integrale. Formula fondamentale del calcolo integrale. Tecniche di integrazione: per parti, per sostituzione, integrazione delle funzioni razionali fratte.

Orario di ricevimento

Si riceve per appuntamento tramite posta elettronica